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魔法少女まどか☆マギカ 数学 問題 に、ついて

参考 ほむらに葬られなかった問題 その2


 問題 p は素数、n は任意の自然数とします。 (1+n)^p - n^p - 1 が p で割り切れることを証明してください。


解答例 (1+n)^p = Σ[r=0→p]pCr・1^p-r・n^r=Σ[r=0→p]pCr・n^r

    (1+n)^p -n^p -1=Σ[r=1→p-1]pCr・n^r 
                      ・・・r=0のとき、1
                         r=pのとき、n^p

                         右辺は上の二つを除いた和



pCr=p・(p-1)!/(p-r)!r!である。

条件より、pは、素数である。

よって、pCrは、pの倍数である。

n^rは、自然数である。

よって、Σ[r=1→p-1]pCr・n^rは、pの倍数である。

よって、(1+n)^p -n^p -1は、pの倍数である。

よって、割り切れる。




感想
 二項定理の問題。公式を、忘れてた。0!=1も、忘れてた。

 その後の証明で、pCr=p・(p-1)!/(p-r)!r!で、pは、素数でない時、pCrは、pの倍数にならない。
    例 4C2 = 6
       6C2 = 15

      素数は、なる。
      3C2 = 3
      5C2 = 10
不思議。
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  1. 2011/03/20(日) 20:30:52|
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